3. Расчет течения в закрытом радиальном колесе

Течение в водяной установке, на которой проводились исследования Хауэрда и сотрудников [4], [5], [6], [14], организовано следующим образом (рис.1):

1. По короткой вертикальной неподвижной трубе вода подается из бака нижнего уровня в колесо.
2. Втулка колеса вращается вместе с закрепленными на ней лопатками постоянной высоты и покрывающим диском.
3. Из колеса вода попадает в короткий безлопаточный диффузор постоянной ширины и далее в бак верхнего уровня.

3.1. Построение сетки

При подготовке сетки для моделирования турбулентного течения приблизительно оценивался минимальный размер ячейки в области пограничного слоя. Результаты оценок представлены в таблице 1, в которой приведенные величины вычислены по следующим формулам:

, (1)

, (2)

. (3)

На рис. 2 представлена схема расчетной области, соответствующая 1/14 части колеса (рассматривается один межлопаточный канал и соответствующие ему доли входного участка и диффузора). Осью вращения является ось аппликат, обозначения на осях соответствуют выбранному при построении сетки линейному масштабу задачи, равному высоте лопатки b = 1 дюйм (2,54 см). Сетки входного участка и диффузора построены в плоскости симметрии и преобразованы в объемные поворотом вокруг оси вращения. Система вращается таким образом, что вектор угловой скорости сонаправлен с осью аппликат.

Плоская сетка сечения входного участка изображена на рис.3. Изгибы втулки и кожуха описаны окружностями, выведенными к межлопаточному каналу. Со стороны входа имеется прямой участок длиной 1 дюйм.

Изображенная на рис.4 сетка сечения между лопатками (вид со стороны оси вращения) ограничена следующими линиями (показано направление основного течения и обозначения лопаток):

• Линия сшивания с входным участком, дуга радиуса R₁=4,9 дюйма.
• Линия выхода в диффузор, дуга окружности R₂=9 дюймов.
• Линии лопаток, построенные как дуги окружностей радиусом 7,5 дюймов, центры которых лежат на окружности радиусом 4 дюйма с центром в точке на оси вращения (рис.5).

Сетка диффузора продолжает расчетную область на 4 дюйма. В соответствии с описанием, вращающаяся часть втулки выступает на 1 дюйм, поэтому на ее краю (на линии изменения граничных условий) выделена сеточная линия.

Плоские сетки построены с использованием программы MIG21 (см. Приложение) по чертежам экспериментальной установки. Построение объемных сеток выполнено прямолинейной или поворотной трансляцией в программе GROT. Сгущение узлов к твердым стенкам, к началу и концу межлопаточного канала выполнено в программе ORIGGIN таким образом, чтобы минимальный размер ячейки был около 0,5 мм. Узлы на выходе из расчетной области распределены равномерно поперек канала.

В таблице 2 описаны параметры сгущения частей сетки. Приведено использованное значение коэффициента сгущения P программы ORIGGIN, в скобках указано требуемое значение коэффициента для получения аналогичного сгущения в программе MIG21 (второй нереализованный вариант).

а

Таблица 2: сгущение сетки

Размерность сетки вдоль по течению такова: 35 узлов от входа до лопаток, 30 узлов в зоне лопаток, 13 узлов в диффузоре - всего 78. По направлению от лопатки к лопатке расположен 31 узел, от втулки к кожуху - 25 узлов. Таким образом, общий размер сетки - 60450 узлов. Построенная модель упрощенно описывает геометрию проточной части: не учитывается форма лопаток, скругление или обрез передней и задней кромок. В рассматриваемой постановке считается, что лопатки имеют нулевую толщину.

3.2. Параметры течения и граничные условия

Исходя из описанной в статье Хауэрда [5] геометрии экспериментальной установки и выбранных режимных параметров, были вычислены следующие характеристики (см. таблицу 3).

Вычисления с использованием программного комплекса SINF ведутся во вращающейся системе отсчета, поэтому в качестве граничных условий на втулке, лопатках и части кожуха над лопатками задается условие прилипания с нулевыми скоростями. На неподвижном в абсолютной системе координат кожухе задается соответствующее вращению обратное распределение касательной скорости. На боковых поверхностях расчетной области перед лопаточной частью и после нее ставится условие вращательной симметрии. На верхней и нижней границах расчетной области за диффузором ставится условие проскальзывания потока. Формулируется требование постоянства величины давления на выходе из расчетной области, это значение задается в качестве точки отсчета давления.

Далее будет подробно проанализирован вопрос постановки граничного условия на входе в расчетную область. В любом случае здесь задается равномерное распределение расходной компоненты скорости. Рассматривались разные варианты определения входной закрутки потока.

Таблица 3: параметры задачи

Вначале проводился расчет (вариант "A" - базовый), в котором на входе в расчетную область задавался незакрученный в абсолютном движении поток, т.е. тангенциальная составляющая скорости определяет (в относительной системе координат) вращение в обратную сторону с полной скоростью. Стационарная задача решается методом установления. Для построения нулевого приближения находится решение, отвечающее ламинарному течению с числом Рейнольдса Re=100, дальнейший расчет ведется с использованием модели турбулентности. Условием получения сошедшегося решения в ламинарной постановке стала остановка процесса сходимости. При моделировании турбулентного потока критерием остановки счета выступало достижение баланса расхода потока в каждом поперечном сечении канала.

3.3. Расчеты: ожидаемые и полученные результаты

На рис. 8 схематично изображены структуры течения с учетом расположения и ориентации элементов, направления действия сил.

На входе в канал, когда течение еще не развито, имеется потенциальный поток с некоторой абсолютной завихренностью (допустим, нулевой). Когда он вынужденно закручивается в канале, профиль скорости так перекашивается, с уменьшением скорости у стороны давления, чтобы сохранить начальную завихренность (рис.7).

Рассмотрим теперь течение в канале, достаточно длинном для существенного проявления вязких эффектов. Вблизи твердых стенок (в т.ч. у кожуха и втулки, т.е. сверху и снизу в ориентации графика) почти не действует сила Кориолиса (поток заторможен). Силу, вызванную градиентом давления (близкую к постоянной по сечению, параллельному лопатке) уравновешивает напряжение трения на стенке. Таким образом, формируется вторичное течение: в ядре потока - к стороне давления, у кожуха и втулки - к стороне разрежения. В результате перестроения потока возникает большая расходная скорость у стороны давления.

Рис. 9 показывает расположение сечений экспериментальной установки, в которых измерялись распределения скоростей. Плоские поперечные сечения межлопаточного канала расположены перпендикулярно средней линии, проведенной между лопатками. Радиусы средних точек сечений составляют 5,5; 6,4; 7,2 и 8 дюймов соответственно, они пронумерованы цифрами 2, 3, 4 и 5. Отметкой 1' выделена сеточная поверхность недалеко от входа в межлопаточный канал, где поле скорости анализировалось отдельно.

На рис.10 изображены профили расходной компоненты скорости и вид поперечных течений в этих сечениях по данным статьи Хауэрда [5]. Масштаб поперечной скорости равен 1,2х масштаб основной скорости, который обозначен метками 1,22 м/с на четыре метки. Таким образом, три метки примерно соответствуют единице безразмерной скорости, принятой в расчетах. На рис.10 использованы следующие обозначения (таблица 4):

Таблица 4: обозначения Хауэрда

Анализ профилей рис.10 показывает наличие описанных выше эффектов перекоса профиля скорости в разные стороны в первом и последнем экспериментальных сечениях.

Отсутствие подробного описания конструкции входа экспериментальной установки и условий реального моделирования обострило проблему постановки входного граничного условия в численном эксперименте, а именно закрутки потока на входе. Поскольку в результате попытки подать на вход незакрученный поток внутри колеса было получено течение со значительными неравномерностями, в отличие от представленных в статье Хауэрда [5] иллюстраций, в процессе параметрического исследования изучалось влияние входной закрутки потока на течение внутри колеса.

Для оценки величины подходящей закрутки потока на входе использовано два подхода.

Во-первых, можно исходить из требования гладкого входа потока в колесо, т.е. угол наклона вектора скорости должен быть примерно равен углу наклона лопатки на входе b ₁. Зная скорость потока на выходе (произведение коэффициента расхода j на скорость лопатки w r₂), можно по соотношению площадей поперечных сечений канала (фактически по соотношению радиусов r₁ и r₂) вычислить скорость на входе. По известному углу наклона потока из треугольника скоростей (проекцией входной скорости на окружное направление будет произведение угловой скорости на радиус) определяется скорость вращения входного потока w *:

, (1)

Наблюдаемый при отсутствии закрутки угол входа 20⁰ меньше требуемого на треть. Как следствие в варианте "B" расчета на входе задана частичная закрутка потока. В относительной системе координат это соответствовало вращению входного потока с безразмерной угловой скоростью 0,307 при скорости вращения системы 0,4649.

Другой подход базируется на условии сохранения завихренности потока вблизи входа во вращающийся канал, как описано в начале параграфа. Определив фактическую (в экспериментальном распределении скорости) завихренность потока по производной расходной скорости v_n поперек сечения канала x и учтя вращение системы с угловой скоростью w , получим эффективную скорость закрутки потока на входе:

, (2)

На рис.11 построены 5 ближайших к втулке распределений поперек канала расходной компоненты скорости в сечении 2. Для определения производной скорости выбран третий профиль, находящийся на одной трети расстояния между втулкой и кожухом. Все точки профиля, снятые с графика рис.10, выделены крупными символами. Два белых треугольника показывают выбранные точки, по которым определялось приращение скорости в ядре течения. С учетом используемых масштабов вычислена рекомендуемая закрутка потока. Получено значение безразмерной угловой скорости вращения входного потока 0,1311 (вариант "C").

Найденные значения использованы для расчетов, в последнем варианте (D) задано промежуточное значение скорости вращения 0,2. В таблице 5 перечислены условия, при которых сохранялись промежуточные решения и параметры, с которыми продолжался расчет. Число итераций соответствует окончанию расчетов по данному варианту. В качестве стартового поля для дальнейших вычислений использовалось последнее из полученных решений.

Таблица 5: варианты решения задачи о колесе по опытам Хауэрда

На рис.12 -13 для трех вариантов расчета изображены поля скорости в разных представлениях. На всех этих иллюстрациях показана сеточная поверхность, находящаяся посередине между втулкой и кожухом.

Рис.12 представляет картину распределения касательных к анализируемой поверхности векторов скорости у входа в межлопаточный канал. В первом варианте расчета заметен недостаточный угол поворота потока перед входом в колесо. Входная закрутка потока усилила отрыв на входных кромках лопаток. В результате применения оценки, исходящей из предположения о сохранении завихренности получен наиболее плавный вход потока в межлопаточный канал.

Поля на рис.13 характеризуют поведение потока внутри колеса. Иллюстрации слева показывают распределение модуля полной относительной скорости по каналу. На цветной заливке хорошо выделяются зоны ускоренного течения у передней кромки лопатки вблизи поверхности, соответствующей стороне разрежения, и последующее развитие области замедления потока у этой же поверхности. Отмечается сокращение размеров обеих зон при закручивании потока на входе, причем увеличение входной закрутки ослабляет предшествующие отрывным явлениям перекосы скорости.

На контурных картах в правой части рис.13 показана одна из декартовых компонент скорости, приблизительно соответствующая основному направлению течения. Отмечены изолинии, характеризующие ширину зоны заторможенного у стороны разрежения потока. Контурная линия, соответствующая тому же значению скорости у стороны давления, расположена так близко к стенке, что на данных графиках просто не заметна. В третьем варианте расчета так же близко к стенке располагается и характерная изолиния скорости у стороны разрежения. Уже при реализации частичной входной закрутки потока линия постоянной скорости расположена ближе к стороне разрежения.

Не показанные на графиках поля промежуточного по величине закрутки варианта расчета примерно соответствуют полям варианта "B". Таким образом, из рассмотренных вариантов постановки задачи наиболее гладкий вход потока в колесо и ровный профиль скорости внутри межлопаточного канала обеспечила закрутка потока на входе из условия сохранения завихренности. Более подробные результаты этого расчета представлены на рис. 14 - 17.

На рис.14 изображены профили расходной скорости в измерительных сечениях. Ориентация сторон совпадает с иллюстрациями из статьи [5], изменен только наклон картинок. Единицей скорости является принятый при расчетах масштаб. С точки зрения изложенных в начале параграфа теоретических предположений о форме профиля все представленные картины показывают поведение как бы более развитого по длине канала потока. Возможно, значительный перекос профиля скорости в межлопаточном канале, чуть не превратившийся в отрыв у стороны разрежения, вызван неадекватным воспроизведением течения вблизи входа в колесо.

Ожидаемое уменьшение скорости у стороны давления наблюдается лишь в сечениях, близких к входу в колесо. Распределение нормальной компоненты скорости в поперечном сечении канала вдоль сеточной поверхности показано на рис.15. Расположение этой (цилиндрической) поверхности отмечено символом 1' на рис.9.

На рис.16 и 17 показан перспективный вид межлопаточного канала с четырьмя измерительными сечениями.

Заливкой на рис.16 показано значение расходной скорости. Масштаб скорости един для всех сечений, шкала изображена на легенде. Кроме того, в каждом из сечений показана структура вторичных течений в виде поля тангенциальных векторов скорости. Масштаб вторичных течений меняется от сечения к сечению, для сечений ¦2, 3, 4 и 5 длина тангенциальных векторов равна соответственно 0,4; 0,5;0,6 и 0,7. Вдоль всего канала проведено два семейства линий тока, одна группа "выпущена" у стороны разрежения, другая - у стороны давления.

Аналогичный рис.17 характеризует вторичные течения. Заливка показывает их интенсивность, в едином масштабе показан модуль касательной скорости. Линии тока в плоскостях сечений условно изображают структуру развивающихся вихрей.