Расчет течения в открытом осерадиальном колесе

Внешний вид моделируемого колеса вместе с обтекателем втулки изображен на рис.18. По возможности обеспечено максимальное геометрическое соответствие данным статьи Эккардта [11], представленная картина построена на базе используемой в расчетах сетки.

Рис.19 показывает общее устройство части установки, которая рассматривается в рамках расчетной области. Труба на входе, продолжающий ее кожух и верхняя поверхность диффузора неподвижны. Обтекатель и втулка с закрепленными на ней лопатками вращаются. Вращающийся покрывной диск отсутствует, рассматривается открытое колесо. Зазор отделяет вращающуюся втулку от неподвижной нижней поверхности диффузора.

На рис.20 изображен вид колеса с поверхностями лопаток, имеющими нулевую толщину (это - вспомогательный объект при генерации расчетной сетки). Построение сетки оказалось наиболее трудоемким этапом решения этой задачи, поэтому далее будет рассмотрено подробно.

4.1. Построение сетки

Для определения минимального поперечного размера ячеек сетки выполнены оценки, методика которых изложена в п. 2.1. Результаты оценки представлены в таблице 1. Все элементы итоговой пространственной сетки конструируются таким образом, чтобы поперечный размер ячеек в областях пограничных слоев у стенок составлял приблизительно 0,1 мм. Построение отдельных блоков сетки проводится с применением различных технологий "выращивания" плоских сеток в объемные.

4.1.1. Сетка на лопатке

Чертеж лопатки из статьи Эккардта [11] приведен на рис.21. Втулке рассматриваемого варианта колеса, т.н. Ротору А, соответствует пунктирная линия развертки профиля лопатки. В соответствии с указанными на чертеже положениями и радиусами описывающих кривые окружностей построены линии втулки и кожуха (рис.22). В таблице 2 описаны координаты точек линии втулки.

Развертка профиля лопатки покрыта плоской сеткой. Размеры сетки таковы: 70 узлов по длине лопатки от обтекателя до диффузора, 48 узлов от втулки до кожуха.

Участок зазора между верхней кромкой лопатки и кожухом учтен при построении сетки развертки. В статье [11] указывается, что ширина этого зазора изменялась от 0,5 миллиметра на входе и выходе до 0,8 мм в середине длины лопатки. Принято, что кривая ширины зазора имеет форму синусоиды с перечисленными узловыми точками. Для корректной постановки граничных условий разного типа на поверхности лопатки и в области зазора сеточная линия, находящаяся в 8 ячейках от кожуха, проведена на соответствующем расстоянии от него.

Приведенные в статье [11] результаты измерений представлены в шести поперечных сечениях межлопаточного канала, схема расположения которых на профиле изображена на рис.27. Сечения заданы относительной координатой, отсчитываемой вдоль по кожуху от передней кромки лопатки (табл.2).

Детальной информации о толщине лопатки в литературе не представлено. Измерения полутолщины лопатки по графикам сечений в статье Эккардта [11] дали следующие результаты, обобщенные на графике (рис.24) и в табл. 3.

Таблица 3: измерительные сечения и толщина лопатки

1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.	11.
I	0,08	10,88	10,9	139	0,286	140	1,19	1,000	62,6	4,15
II	0,43	58,48	58,4	143	0,429	143	1,85	1,000	88,8	4,32
III	0,59	80,24	77,5	152	0,375	152	1,75	1,000	117	4,67
IIIa	0,73	99,28	90,7	166	0,222	166	1,14	0,571	146	2,94
IV	0,87	118,32	99,5	183	0,200	183	1,15	0,500	179	2,87
V	1,01	137,36	105	200	0,182	200	1,14	0,364	200	2,28

Полутолщина лопатки измерена в долях ширины межлопаточного канала. По известной ширине канала в данной точке сечения она пересчитана в размерную величину. Для описания гладкого распределения полутолщины лопатки между сечениями полученный набор точек аппроксимирован полиномами второго порядка.

Здесь x_s - относительная координата крайней точки сечения по длине кожуха

На рис.24 точкам вблизи кожуха соответствуют символы нижней группы и сглаживающая их распределение кривая, верхняя группа символов и кривая соответствуют распределению полутолщины лопатки у втулки.

Приняв линейное распределение полутолщины лопатки между измеренными вблизи крайних точек сечений значениями, получено распределение полутолщины лопатки по всей поверхности развертки (рис.25).

На передней (входной) и верхней кромках лопатки моделируется закругление. В качестве радиуса закругления принимается полутолщина лопатки в данной точке. Сеточные линии вблизи передней кромки лопатки располагаются таким образом, чтобы все закругление было описано примерно одинаковым количеством ячеек вдоль всей длины кромки (рис.23). То же относится и к верхней кромке лопатки. В результате применения такой методики построения сетка верхней кромки лопатки вблизи передка имеет вид, представленный на рис.26. Задняя (выходная) кромка лопатки имеет прямой обрез.

Линия изгиба лопатки, если пересечь ее цилиндрической поверхностью с центром на оси вращения, имеет эллипсоидальную форму (показана на рис.21 под разверткой профиля):

где длина одной из полуосей меняется в зависимости от расстояния до оси вращения, а вторая неизменна:

В статье [11] указывается, что кромка лопатки на выходе расположена вертикально, поэтому влияние эллипсоидального изгиба на форму лопатки учитывается с весом 1-(R/R₂)²⁰.

В правой части рис.21 изображена форма изгиба выходной кромки лопатки. В таблице 4 описаны точки, по которым построена кривая изгиба. Построенная по точкам кривая аппроксимирована полиномом второй степени, который имеет следующий вид с учетом весовой функции:

Сложением всех изгибов на разных участках профиля для каждой его точки получается значение окружной координаты. С помощью стандартных формул преобразования полярных координат в декартовы плоская сетка лопатки преобразуется в пространственную (точки профиля поворачиваются относительно оси вращения на заданное окружное расстояние). Модель колеса из таких бестелесных лопаток представлена на рис.20. Расчеты проводятся в пределах одного межлопаточного канала, расположение измерительных сечений в нем представлено на рис.28.

Применяя аналогично радиальное проектирование на величину полутолщины лопатки поочередно в одну и другую сторону, можно получить объемную форму лопатки. Конструкция колеса при этом выглядит максимально правдоподобно (рис.18).

4.1.2. Входной участок

Исходя из внешнего вида колеса, изображенного в статье Эккардта [11] (рисунок, похожий на рис.18), принята эллипсоидальная форма обтекателя втулки с полуосями 60 мм по радиусу и 87 мм по направлению оси вращения. Общая длина трубы, ограничивающей поток на входе, принята примерно в два раза больше высоты обтекателя - 160 мм. Чтобы избежать построения вырожденных по форме ячеек вблизи оси вращения, область над обтекателем представляется в виде стержня радиусом 6 мм. Переход линии стержня, параллельной оси вращения, в перпендикулярную ей полуось обтекателя сглажен отрезком окружности радиусом 9 мм. На полученной поверхности располагаются 48 узлов по высоте лопатки, сгущенные к поверхностям обтекателя и внешней трубы. Они расположены так же, как узлы на сетке передней кромки лопатки, для сшивания двух сеток в единый блок. По направлению основного потока расставляются 30 узлов, сгущенных к лопатке. Проведена дополнительная ортогонализация сеточных линий вблизи поверхности обтекателя для получения там формы ячеек, близкой к прямоугольной. Пространственная сетка входного участка получена вращательной трансляцией построенной в плоскости симметрии сетки (рис.29). Размер сетки от одной лопатки до другой 40 узлов.

4.1.3. Межлопаточный канал

В расчете рассматривается не показанная на рис.18 пространственная модель одной из лопаток, а сетка в межлопаточном канале. Две построенные поверхности с выпуклостями в противоположные стороны повернуты одна относительно другой выпуклостями друг к другу. Модель сетки межлопаточного канала с двумя граничными поверхностями и соединяющими их дугами окружностей с центрами на оси вращения показана на рис.30.

Каждая точка сеточной поверхности одной лопатки соединяется сеточной линией с соответствующей ей точкой на второй лопатке. Узлы вблизи лопаток сгущаются. Полученная пространственная сетка стыкуется с сеткой входного участка, поэтому их поперечные размеры совпадают.

Таким образом, вблизи втулки (если смотреть со стороны оси вращения) получена сетка со значительным изломом сеточных линий, неравномерностью распределения узлов и наличием вырожденных ячеек. Для устранения этих эффектов на сеточной поверхности втулки проведено комплексное сглаживание сетки с выгибанием сеточных линий (рис.31). Использовано несколько программ (ORIGGIN, MIG21), полное изложение методики проведения преобразований потребовало бы слишком большого количества технических подробностей.

Аналогичное сглаживание внутренних сеточных поверхностей потребовало применения дополнительных методик построения и преобразования сеток: генерация участков сетки по набору 6 ограничивающих поверхностей или по 12 кривым на ребрах, эллиптическое сглаживание на сеточной поверхности и внутри объема, в т.ч. с использованием методики аттракторов.

4.1.4. Диффузор

Для построения линии, ограничивающей границу вращательной симметрии сетки анализируемого участка диффузора, рассмотрена двумерная модель несжимаемого потока. Сохранение завихренности выражается следующим образом:

Выполняется преобразование компонент скорости из абсолютной системы координат в относительную:

Получено следующее выражение для местного угла наклона вектора скорости в зависимости от расстояния до оси вращения R, которое можно записать и через величину коэффициента расхода:

Интегрируя выражение для наклона линии диффузора в полярной системе координат, получаем формулу для азимута точки на граничной линии диффузора

Система использованных обозначений объяснена на схеме рис.33А.

Угол наклона лопаток на входе в диффузор составляет 60⁰. В статье Эккардта [11] указывается, что диффузор продолжается в радиальном направлении на расстояние от R до 2R. Принято решение моделировать течение до позиции 1,3R. Однако уже на этом расстоянии при указанном в статье [11] значении коэффициента расхода 0,29 угол наклона линии диффузора составит около 17⁰. Угловые ячейки сетки диффузора в таком случае будут иметь сильно скошенную форму. В итоге линия симметрии диффузора выгибается по теории с уменьшением угла наклона до величины около 45⁰ (радиальная позиция 1,05R), а потом угол наклона линейно увеличивается до 90⁰. Таким образом, к выходу из расчетной области сеточная линия подходит перпендикулярно.

Для корректного моделирования течения за торцом лопатки с прямым обрезом выходной кромки при построении сетки диффузора использована многоблочная методика. Торцу каждой из двух половинок лопатки соответствует отдельный блок, внешняя граница симметрии которого как раз и строится по вышеописанной методике. Расстановка узлов на линии сшивания с сеткой межлопаточного канала определяется принятым сгущением к твердым поверхностям лопаток. На выходе из расчетной области распределение узлов в сечении, перпендикулярном оси вращения колеса, принято равномерным для всех трех блоков вместе. Таким образом, с увеличением радиуса основной блок диффузора сохраняет приблизительно постоянную ширину, а расширяются только торцевые блоки.

Результирующая сетка втулки диффузора представлена на рис.32. При расчетах в первых 7 ячейках по длине диффузора (до позиции 1,02R) на втулке ставится граничное условие проскальзывания, эта область описывает зазор между вращающейся и неподвижной частями втулки.

По направлению потока сетка диффузора состоит из 30 узлов, сгущенных к концу межлопаточного канала. Центральный (основной) блок сетки диффузора стыкуется с сеткой межлопаточного канала, поэтому они имеют одинаковую поперечную размерность. Размерность сетки от втулки к кожуху определяется сеткой на поверхности лопатки. Поперечный размер торцевого блока (от центрального блока до поверхности вращательной симметрии) - 11 узлов.

В расчетах, как и в экспериментах, принято, что площадь поперечного сечения рассматриваемого диффузора не изменяется с ростом радиуса. Расстояние между втулкой и кожухом на выходе из расчетной области меньше на 30%, чем в начале диффузора. С учетом выбранной конфигурации дополнительных блоков диффузора модель центрального блока из двух поверхностей (входной и выходной) и трех образующих кривых (путей) изображена на рис.33Б.

На рис.34 изображена сетка выходного сечения межлопаточного канала и окружающих его торцевых блоков. В показанном сечении (начале диффузора) дополнительные блоки гораздо уже основного, и качество разрешения особенностей течения за выходной кромкой лопатки должна быть высоко.

Более крупно часть этой картины показана на рис.35. Видно сгущение сеточных линий к границам сеток. Сетка центрального блока в сечении начала диффузора модифицирована эллиптическим сглаживанием с аттракторами. Ячейки у верхней кромки лопатки и перед зазором, в области между лопаткой и кожухом, ортогонализированы. Аналогичное сглаживание вблизи кожуха выполнено по всей его длине в объеме сетки межлопаточного канала.

Структура сетки дополнительного блока в начале диффузора дополнена моделью блока (рис.36). При выбранном расположении граничных поверхностей ячейки с особенностями примыкают к поверхности вращательной симметрии. Расширение дополнительного блока к выходу из расчетной области обеспечивает равномерное распределение узлов поперек всего диффузора на выходе из расчетной области.

Вид сетки на выходе из расчетной области с учетом расширения дополнительных блоков и уменьшения высоты диффузора (сужения расстояния между кожухом и втулкой) показан на рис.37.

На рис. 38 изображена структура сетки вблизи начала диффузора. Левая иллюстрация отражает детализацию геометрических особенностей торцевой области лопатки у втулки. Правая иллюстрирует область зазора над лопаткой у кожуха, детализацию сетки в диффузоре вблизи кожуха и на поверхности вращательной симметрии диффузора в зоне вырожденных ячеек сетки дополнительного блока.

Общий вид трехблочной расчетной области (схематичное изображение сетки) представлен на рис.39. В таблице 5 указаны размерности элементов сетки.

4.2. Параметры течения и граничные условия

На данном этапе работы течение в колесе Эккардта рассчитывалось в рамках модели несжимаемой жидкости. Учет сжимаемости предполагается осуществить в недалеком будущем.

В таблицу 6 сведены некоторые характеристики колеса и режимные параметры задачи.

0,14	Радиус входной трубы, м (линейный масштаб)
0,06	Радиус обтекателя у входа в колесо, м
0,2	Внешний радиус колеса, м
0,026	Высота лопатки на выходе в диффузор, м
4,54	Расход, кг/с
1,293	Плотность, кг/м³
14000	Скорость вращения, об/мин
0,2923	Коэффициент расхода
0,0616	площадь входа в расчетную область, м²
0,0503	площадь входа в колесо, м²
0,0327	площадь сечения диффузора, м²
57,0232	скорость на входе в расчетную область, м/с (скоростной масштаб)
1,455x 10^-5	вязкость воздуха при 15⁰С, м²/с
5,487x 10⁵	число Рейнольдса на входе в расчетную область
2,455x 10^-3	временной масштаб, с
3,6	параметр вращения
1,823x 10^-6	относительная вязкость
85,71	скорость на выходе в диффузор по коэффициенту расхода, м/с
107,47	скорость на выходе в диффузор по соотношению площадей, м/с

Принципиальное отличие от задачи Хауэрда в части постановки граничных условий состоит в отсутствии движущегося вместе с лопатками покрывного диска. Рассматривается открытое колесо, поэтому поверхность кожуха неподвижна в абсолютной системе координат. Таким образом, условие прилипания на кожухе задается со значением касательной скорости в относительной системе отсчета, описывающей вращение в противоположную сторону. Вторая особенность заключается в учете течения через концевой зазор между лопатками и покрывным диском. Здесь использовалось условие поворотной периодичности. Выделялся также узкий слой с условиями скольжения в окрестности перехода от втулки колеса к неподвижной стенки диффузора.

В рассматриваемой задаче не варьировалось входное граничное условие. Во всех вариантах расчета поток на входе в расчетную область считался незакрученным в абсолютной системе координат, с равномерным распределением расходной скорости.

4.3. Результаты расчетов

Последовательность получения различных вариантов решения отражена в таблице 7.

Начальное приближение к решению получено в ламинарной постановке. В качестве линейного масштаба выбран радиус входной трубы (кожуха), и фактическое число Рейнольдса внутри канала оказывается меньше построенного по масштабам. Оказалось, что ламинарное решение при Re=1000 дает неплохое приближение к искомому турбулентному.

Изначально у оси вращения на входном участке было задано граничное условие проскальзывания (на поверхности тонкого фиктивного стержня перед обтекателем втулки, введенного для устранения проблем сингулярности у оси). Расчет в турбулентной постановке показал, что на участке излома сетки (у носика обтекателя) формируется нефизическое решение с закруткой потока в обратную сторону. При этом получение сошедшегося решения затруднено, так как не удается добиться сохранения интегрального потока массы, проходящей через поперечные сечения канала.

Блокировка векторов скорости "неправильного" направления улучшила итерационную ситуацию, однако распределение расхода выравнивалось очень медленно. К получению искомого решения привело лишь исключение скачка граничного условия перед обтекателем втулки (на стержне было поставлено также условие прилипания).

На базе полученных полей скорости построены аналоги иллюстраций из статьи Эккардта [11], показывающие распределения расходной компоненты относительной скорости в шести поперечных сечениях межлопаточного канала (рис.40А, Б). Левые графики взяты из статьи Эккардта [11], правые построены по данным расчета. Изображена нормальная к плоскому сечению компонента скорости, отнесенная к скорости вращения лопатки на выходе из колеса. В отличие от статьи Эккардта, расчетные сечения не схематизировалась трапецеидальной формой, на графиках показан фактический изгиб лопаток.

Проводимое сопоставление в известной мере условно, так как измерения проведены в условиях, когда плотность вдоль по каналу меняется почти в два раза. Вместе с тем можно ожидать, что основные особенности кинематики потока должны воспроизводиться и моделью несжимаемой жидкости.

Анализируя расчетные профили, можно отметить наличие всех эффектов, отраженных в литературе:

Следует подчеркнуть, что течение в слое, прилегающем к покрывному диску, не измерялось в экспериментах Эккардта [11], в том числе и в окрестности концевого зазора. Наши расчеты указывают на развитие узкой зоны возвратного течения у покрывного диска. В [8] указывалось, что развитие этой зоны предопределяется учетом зазора над лопатками. Наш расчет с заблокированным перетеканием подтверждает это заключение.

На рис.41 сопоставлены поля скорости в сечении IIIa для базового варианта, с учетом зазора над лопатками, и расчета без перетечек. Во втором случае использована та же сетка, просто на границах периодичности поставлено условие прилипания. Заливкой на графиках показана расходная нормированная компонента скорости. Векторами показана структура поперечных (вторичных) течений в плоскости сечения. Видно, что учет перетечек через концевой зазор оказывает принципиальное влияние на детали кинематики потока в колесе. Неучет перетечек не влияет лишь на такое "невязкое" свойство потока как концентрация высоких скоростей в угловой зоне, прилегающей к кожуху и стороне разрежения.

Картина линий тока в межлопаточном канале представлена на рис.43. Изображены две группы линий тока. Пять темных линий "выпущены" вблизи стороны давления, пять светлых - близи стороны разрежения у передней кромки лопатки. Показаны траектории движения частиц от входного участка до границ центрального блока сетки в районе диффузора. Представленная картина построена на базе поля, рассчитанного с учетом перетечек в концевых зазорах.

На рис.42 представлено поле скорости в сечении диффузора, параллельном поверхности втулки в нем. Более крупно течение за торцом лопатки показано на рис.44. Видно высокое качество разрешения ближнего следа за лопатками.